௬. குழியும் நாற்றும்

 

குழியும் நாற்றும்

ஒவ்வொரு குழியிலும் நாற்று நடுபவர் பணியை முடித்ததும், நூறு குழியிலும் நாற்று இருக்கும்.

இரண்டின் மடங்கில் நடுபவர் நட்டுவிட்டுச் சென்றதும், 2, 4, 6, 8. .. 100 என்ற இரண்டு காரணியாக இருக்கும் குழிகளில் நாற்று இருக்காது. இந்த எண்களுக்கு ஒன்றும் காரணி ஆதலால், ஒன்று மற்றும் இரண்டு காரணிகளாக இருக்கும் குழிகளில், நாற்று இருக்காது. மற்றவற்றில் இருக்கும்.

மூன்றின் மடங்கில் நடுபவர் பணியை முடித்ததும், ஒன்றும், இரண்டும் மூன்றும் காரணிகளாக இருக்கும் எண் குழிகளில், நாற்று இருக்கும். (6, 12, 18 போன்றவை). மூன்று காரணியாக இல்லாமல், ஒன்றும், இரண்டும் காரணிகளாக இருக்கும் எண்களில் (2, 4, 8, 10, 14 போன்றவை) நாற்று இருக்காது. இரண்டு காரணியாக இல்லாமல், ஒன்று மற்றும் மூன்று காரணிகளாக இருக்கும் குழிகளில் (3, 9, 15, 21 போன்றவை), நாற்று இருக்காது. (1, 5, 7, 11, 13 போன்றவை) மற்றவற்றில் நாற்று இருக்கும்.

 

நான்கின் மடங்கினர் நட்டுவிட்டுச் சென்றதும், ஒன்று, இரண்டு, மூன்று மற்றும் நான்கு இவையாவும் காரணிகளாக இருக்கும் எண் குழிகளில், நாற்று இருக்காது. (12, 24, 36, 48 போன்றவை). நான்கு காரணியாக இல்லாமல், ஒன்று இரண்டு மற்றும் மூன்று காரணியாக இருக்கும் எண் குழிகளில்(6, 18, 30, 42 போன்றவை) நாற்று இருக்கும். மூன்று காரணியாக இல்லாமல், ஒன்றும், இரண்டும், நான்கும் காரணிகளாக இருக்கும் குழிகளில், நாற்று இருக்கும். (4, 8, 16, 20, 28 போன்றவை).

இதிலிருந்து நமக்குத் தெரிவது என்னவென்றால், காரணிகள் இரட்டைப்படையாக இருக்கும் எண் குழிகளில், நாற்று இருப்பதில்லை. ஒற்றைப்படையாக இருக்கும் எண் குழிகளில், நாற்று இருக்கும். எந்த எந்த எண்களுக்குக் காரணிகள் ஒற்றைப்படையில் இருக்கும்? எந்த எந்த எண்களுக்குக் காரணிகள் இரட்டைப்படையில் இருக்கும்? இந்தக் கேள்விக்கு விடை காண, முதலில் எண்களை மூன்று விதமாகப் பிரித்துக் கொள்வோம்.

ஒரு முழுவெண் கீழ்க்குறிப்பிட்ட மூன்று வகைகளில் ஒன்றாகத்தான் இருக்கும்.

(1)   பகா எண்

(2)  பகு எண் – முழு வர்க்கம் இல்லாதவை

(3)  பகு எண் – முழு வர்க்க எண்கள்

1.   பகா எண்: இதன் காரணிகள் எப்போதுமே இரண்டு. ஒரு காரணி, ஒன்று. மற்றொரு காரணி அந்த எண்ணே.

2.   பகுஎண் – வர்க்கம் இல்லாதவை – இதன் காரணிகள், எப்போதும் இரட்டைப்படை. ஒன்று ஒரு காரணி, அந்த எண் ஒரு காரணி. இவை இல்லாமல், இவற்றை மீதியில்லாமல் வகுக்கும் எண் இருப்பதால்தானே, இவை பகு எண் எனப்படுகின்றன? அப்படியென்றால், இவற்றை வகுக்கும் எண் ஓர் ஈவைத் தரவேண்டுமல்லவா? அதாவது, குறைந்த பட்சம் இரண்டு காரணிகள் இருக்கவேண்டும். அப்படியிருந்தால்தான் அவை பகு எண். அதனால், பகு எண்ணின் காரணிகள் எப்போதும் இரட்டைப்படை.

3.   பகு எண் – முழுவர்க்க எண்கள். இவற்றின் காரணிகள் எப்போதும் ஒற்றைப்படை. ஒன்று ஒரு காரணி. அதே எண் ஒரு காரணி. வர்க்க மூலம் ஒரு காரணி.

அதனால், ஒற்றைப்படை காரணிகள் உள்ள முழு வர்க்க எண் குழிகளில், நாற்று இருக்கும். இரட்டைப்படை காரணிகள் உள்ள முழு வர்க்க எண் அல்லாத குழிகளில் நாற்று இருக்காது.

அதாவது, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 எண் குழிகளில் நாற்று இருக்கும்.