௫. வல்லிய குட்டிகாரம்

 தீபமேற்றும் கணக்கு 

14 நாட்களுக்கு ஒருமுறை, 101 குடிகளும் சமமான எண்ணிக்கையில் உழக்ககெண்ணெய் பங்களிக்க வேண்டும். இவற்றோடு, கிராமத்தலைவர் தன் பங்கோடு, 11 உழக்குக்களைத் தண்டனையாகச் செலுத்த வேண்டும். ஒவ்வொரு குடியின் பங்களிப்பையும் X என்று வைத்துக்கொண்டால், மொத்தப் பங்களிபு = 101X + 11.

இந்தப் பங்களிப்பை வைத்து 14 நாட்களுக்கும் தீபங்கள் சமமான எண்ணிக்கையில் ஏற்றப்பட வேண்டுமாதலால், தினசரி பயன்பாடு (101X + 11)/14 உழக்குக்கள். அனைத்துத் தீபங்களும் ஓருழக்குத் தீபங்களானதால், (101X + 11)/14 இவைதான் தினமும் ஏற்றப்பட வேண்டிய விளக்குக்களின் எண்ணிக்கையும். இத்தனை விளக்குக்களும் 15 சந்நிதிகளில் சமமான எண்ணிக்கையில் எரிய வேண்டும். எனவே ஒவ்வொரு சந்நிதிக்கும் (101X + 11) / (14 x 15) விளக்குகள் கிடைக்கும்.

இதுதான் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய எண். பல எண்கள் கிடைக்கலாமாதலால், நாம் கண்டுபிடிக்கும் எண், கிடைக்கக்கூடிய எல்லா விடைகளையும் விட, குறைந்ததாக இருக்கவேண்டும். முழு எண்ணாகவும் இருக்க வேண்டும்.

 

எனவே, தீர்க்கப் படவேண்டிய சமன்பாடு 101X + 11 = 210Y.

X என்பது ஒவ்வொரு 14 நாட்களுக்கும் குடும்பத்தின் பங்களிப்பு.

Y என்பது தினசரி ஏற்ற வேண்டிய விளக்குகளின் எண்ணிக்கை.

 

ஆனால், இந்தச் சமன்பாட்டில் ஒரு சிக்கல். Y இன் குணகம், X இன் குணகத்தை விடப் பெரியது. அதனால், சமன்பாட்டைக் கீழ்க்கண்டது போல மாற்றிக்கொள்ள வேண்டும்.

210Y - 11 = 101X

 

210 என்பது குவையெண், உபரி எண்ணானது, கழித்தல் குறியுடன் உள்ள 11, 101 என்பது பகுவெண். குவைமதிப்புத்தான் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய X.

 

முதல்வகுத்தல்:          210 / 101; முதல் ஈவு = 2, முதல் மீதி = 8

இரண்டாம் வகுத்தல்:     101 / 8; இரண்டாம் ஈவு = 12, இரண்டாம் மீதி = 5

மூன்றாம் வகுத்தல்:      8 / 5; மூன்றாம் ஈவு = 1, மூன்றாம் மீதி = 3

நான்காம் வகுத்தல்:      5 / 3; நான்காம் ஈவு = 1, நான்காம் மீதி = 2

ஐந்தாம் வகுத்தல்:        3 / 2’ ஐந்தாம் ஈவு = 1; ஐந்தாம் மீதி = 1

 

இனி வகுக்க வேண்டியதில்லை. வகுத்தல்களின் எண்ணிக்கையும் ஒற்றைப்படை.

இறுதி வகுவெண் (Last Divisor – LD) = 2, இறுதி மீதி (Last Reminder – LD) = 1.

 

பட்டியல்:

 

1st Col.	2nd Col.
12		p is the least integer that makes the quantity,  (p * LR - Given number) is divisible by LD. q is the quotient of such a division LR = Last Reminder LD = Last Divisor
1
1
1
p
q

 

p: [p * 1(LR) - 11(Given number)] is divisible by 2 (LD)

1p - 11 is divisible by 2, if p is 13. So, p = 13

1p - 11 = 1x13 - 11 = 2, which gives 1 as quotient, when divided by 2(LD). So, q = 1.

 

கொடிப்பொடிப்பு:

 

1st Col.	2nd Col.
12	519
1	41
1	27
1	14
13	13
1	1

 

இரண்டாவது தூணில், முதல் எண்ணை (519) எடுத்துக்கொண்டு, அதைப் பகுவெண்ணால் (101) வகுக்க, வரும் மீதிதான் நாம் தேடும் விடை(Y). 14!

 

சமன்பாட்டில், இதை நிரப்ப, 210 * 14 – 11 = 101X என்று ஆகிறது. X = 2929/101 = 29.

101 குடிகளும், 14 நாட்களுக்கு ஒருமுறை, 29 உழக்கெண்ணெய் தரவேண்டும். இதை வைத்துக்கொண்டு, பதினைந்து சந்நிதிகளிலும் தினமும், 14 தீபங்கள் ஏற்றலாம்.